Lorentz 變換
$ x'=\gamma(x-vt),$ t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right)
$ \begin{pmatrix}ct' \\ x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & -\frac v c\gamma \\ -\frac v c\gamma & \gamma\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct \\ x\end{pmatrix}
變換行列を$ \Lambdaと置くと、$ \Lambdaは$ g_{\mu\nu}:=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$ \Lambda^\top g_{\mu\nu}\Lambda=g_{\mu\nu}を必要充分に滿たす
囘轉 + parity 反轉 P + 時閒反轉 T
行列式$ \det\Lambdaと成分$ \Lambda^0_0とで分類できる
Minkowski 空閒の長さ$ {\rm d}s^2:=\sum_{\mu,\nu}g_{\mu\nu}{\rm d}x^\mu dy^\nu=-(c{\rm d}t)^2+{\rm d}x^2+{\rm d}y^2+{\rm d}z^2を保存する $ \tanh\theta:=\frac v cと置くと
$ \begin{pmatrix}ct' \\ x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh\theta & -\sinh\theta \\ -\sinh\theta & \cosh\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct \\ x\end{pmatrix}
虛時閒$ itを使ふと$ \begin{pmatrix}ict' \\ x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(i\theta) & -\sin(i\theta) \\ \sin(i\theta) & \cos(i\theta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ict \\ x\end{pmatrix}$ i\theta角の囘轉
$ x'=x-vt,$ y'=\frac y\gamma,$ z=\frac z\gamma,$ t'=t-\frac{vx}{c^2}
Lorentz 因子$ \gamma:=\frac 1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{dt}{d\tau}
非相對論的極限
$ \lim_{c\to\infty}\gamma=1
$ \gamma=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac v c\right)^{2n}\prod_{k=1}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)\approx 1+\frac 1 2\frac{v^2}{c^2}
超相對論的極限
$ \lim_{v\to c}\gamma\gg 1
Poincaré 變換
固有時 (proper time)
$ d(c\tau)^2=-d(ct)^2+dx^2+dy^2+dz^2となる$ \tauを言ふ
同じ慣性系內では$ dx=dy=dz=0だから$ \tau=t
$ \lim_{c\to\infty}の極限では$ dx^2+dy^2+dz^2の寄與は 0 に近附く爲に固有時も$ \tau=tに近󠄀附く
運動方程式$ F=m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d(mv)}{dt}は$ F=\frac{dp}{d\tau}に直される
galileiana 變換
$ x'=x-vt,$ t'=t
$ \begin{pmatrix}t' \\ x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -v & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t \\ x\end{pmatrix}
相對論的な理論
$ F=\frac{{\rm d}p^\mu}{{\rm d}\tau}
$ \square A^\mu-\partial^\mu(\partial_\nu A^\nu)=-\mu_0 j^\mu
$ {\rm d}H=J^*
$ \left(\frac 1{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\left(\frac{mc}\hbar\right)^2\right)\phi({\bf x},t)=0
$ \left(\square+\mu^2\right)\phi({\bf x},t)=0
$ \square=\partial^\mu \partial_\mu=\frac 1{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2